作者：王永    文章来源：本站原创    点击数：    更新时间：2008-4-11

数学情境与数学化

——新世纪小学数学四年级“小数乘法”

王  永

数学情境与数学化是现实主义数学课程的两个核心概念。下面就结合安徽宿州赖老师执教的“小数乘法”的起始课，来讨论这个话题。

课堂写真

上课了，老师开门见山，直奔主题：“我们已经学过整数的四则运算和小数的加减法。今天，我们开始学习小数的乘法。请看，这是文具店。”屏幕呈现出“文具店”的情境图，文具柜里摆着铅笔、铅笔刀、橡皮和尺子等学习用品，但它们都没有标出单价。

老师问：“你们想买点什么？”学生随心所欲地回答，接二连三。

这时，屏幕上出示各种文具的标价，老师继续问道：“根据图中的信息和刚才你们要购买的数量，能提出哪些实际问题呢？”

学生发言踊跃，提出了很多实际问题。

老师走到黑板前，写下一个实际问题：每块橡皮0.2元，买4块橡皮需要多少元？并要求大家把如何解决这个问题的想法，在小组进行交流。

到全班汇报交流时，学生先后提出了以下4种解法。

第一种解法：0.2×4＝0.8(元)

老师追问:“为什么这样列式？为什么计算结果是0.8？”

经过讨论，答案明晰了：这个实际问题就是求4个0.2是多少？用加法计算，得数是0.8；相同加数连加的计算可以用乘法列式。

第二种解法：0.2×2＋0.2×2＝0.8（元）

经过议论，大家认为这也算一种解法，老师也给予肯定。

第三种解法： 0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8(元)

老师问大家：“这种方法好不好？”

“不好。”“麻烦。”大家意见一致。

第四种解法：0.2元＝2角，2×4＝8（角），8角＝0.8（元）

老师评价：“这是把小数转化为整数的计算方法。这种想法有价值。还有别的解法吗？”

没有一个学生想到在格子图上涂色的方法，老师自己演示了这种方法，直观验证了前面计算的结果。

课行将结束时，教师出示下面几道算式，要求学生口答:

0.6×2   4×0.5  1.1×3  5×0.3  4×1.7   1.6×5

学生们能迅速说出每个算式的答案。

问题讨论

1． 怎样引导学生从数学情境中提出有价值的问题？

数学情境，就是从事数学活动的环境和对象，也是产生数学行为的条件和根据。一种常见的现象，数学情境呈现后，老师一般会这样设问：“你从情境图中能获得哪些信息？”“根据这些信息，你会提出哪些数学问题？”前一问没有挑战性，学生不用什么周密的思考都可以随口应答；后一问过于开放，没有边际，提出的数学问题未必能满足教学需要。这样的设问一般效果不佳。面对数学情境，怎样设问能够激活学生先前的知识经验，能够在学生取得学习的乐趣与满足教师教学的要求之间达到一种微妙的平衡，是教师进行创造性教学设计的一个重要方面。

针对这节课的数学情境，如果提出下面两个问题，也许效果就不一样：①你能提出一个连加运算的实际问题吗？②你能提出一个相同小数连加的实际问题吗？小数的加法运算是上一节刚学过的内容，小数加法是学习小数乘法的基础；相同小数的连加运算很自然地引入小数乘整数的课题学习。事实上，每个课题的数学情境都有具体的内涵，需要用心设计有意义有个性的设问，引导学生进行有效的学习。

2．解决问题的过程是如何体现数学化特征的？

每块橡皮0.2元，买4块橡皮一共多少元?

这个一个实际问题，它能转化（抽象、简化）成什么样的数学问题呢？能转化为如下数学问题：①4个0.2是多少？②0.2的4倍是多少？根据学生已有的知识经验,这两个数学问题都可以列乘法算式0.2×4来计算。如此把实际问题转化为数学问题，从现实世界引到符号世界，是横向数学化的过程。接着,在符号世界里探索0.2×4怎么算，则是纵向数学化的过程。

在这节课中，没有体现上述数学化的特征，而是从实际问题出发直接探索算法，解决问题；在探索算法方面也缺乏必要的抽象和深度。

我们看到学生能够自发地发现如下两种算法。

算法一：0.2×4＝0.2＋0.2＋0.2＋0.2＝0.8。这个算法是依靠整数乘法意义的迁移，把小数乘整数的运算转化为相同小数的连加运算。

算法二：0.2元＝2角，2角×4＝8角，8角＝0.8元。这种算法是把小数乘法建立在整数乘法的基础上，通过币值单位元、角之间的转换，把小数乘法转化为整数乘法。

算法一把小数乘整数与相同小数的连加运算联系起来，虽然有助于理解小数乘法的原始意义，但它没有实用价值；算法二，虽然在小数乘法与整数乘法之间建立了联系，但这种联系还没有脱离具体情境，还不能产生广泛的迁移。因此，对0.2×4算法的探究不应该就此罢休，纵向数学化的过程不应该就此结束。

    继续引导学生探究的关键是算法二中所蕴含的数学思想方法，怎样用更为抽象的数学语言（算式）表达出来。

学生熟悉0.2元＝2角，也懂得0.2就是2个的0.1，即0.2＝2×0.1，但他们对0.2元＝2角与0.2＝2×0.1缺乏沟通，无法把两者有机地联系起来。事实上，后者就是前者抽象的表征形式。认识到这一点，便可以得到如下算法。

算法三：0.2×4＝（2×0.1）×4                （小数的意义）

             ＝（2×4）×0.1                  （乘法交换律和结合律）

             ＝8×0.1                        （整数乘法）

             ＝0.8。                         （小数的意义）

算法三是算法二进一步的抽象化和形式化。它不仅揭示了小数乘法的算理，而且也充分体现了基本运算律的价值。如果说算法二还紧扣着问题情境中数量的具体意义，那么算法三则是抽象的数字计算了。

    ⒊小学四年级学生能否达到算法三的水平？

诚然，算法三不是学生现有的发展水平，仅靠他们个人的努力是想不到这种算法，达不到这种水平的。但算法三是在他们最近发展区的框架内，是他们潜在的发展水平。从算法二提升到算法三的水平，是从特殊到一般的上位学习，这类学习比较困难，学生要过这个坎，不能缺少教师的引导和帮助；在教师的指导下，他们不仅可以而且应该达到这种水平。

目前，我们的教材并没有把算法三作为学习目标，更强调直观（画图）理解小数乘整数的意义。从这一点来看，我们的教学要求比美国2000年颁布的课程标准还低。.美国三至五年级的代数标准中写道：“理解交换律、结合律和分配律这样的法则，并应用这些法则进行运算。”而我们却没有这个要求。

这节课行将结束时，我们看到学生们能迅速进行诸如4×1.7＝6.8等小数乘法的口算。学生的这种表现似乎已经超越了教材的要求，但显然他们只知其然，不知其所以然。“知其然”充其量学到的是依样画葫芦的程序性知识；“知其所以然”，才达到概念性的理解。在处理新问题和新情境所需的知识中，概念性的知识和理解是最为关键的。特别是概念性的理解有助于培养学生理论思维的兴趣与知识的积极迁移。从这个意义上说，应该向学生介绍算法三。

⒋如何评价把“食杂店”改为“文具店”的得与失？

2004年版这节教材的数学情境是“食杂店”，2005年版改为“文具店”。

从“食杂店”的数学情境中，教材先后提出下面两个实际问题：

⑴ 每根棒棒糖0.20元,买4根需要多少元?

⑵苹果每千克3元,买1.5千克需要多少元?

这两个实际问题有什么区别呢?

根据问题⑴列的算式是0.2×4，它表示“4个0.2”或者“0.2的4倍”。根据问题⑵列出的算式是3×1.5,不能把它理解为“1.5的3倍”，理解为“3的1.5倍”才顺理成章。也就是说，从问题⑴抽象成的数学问题是“小数的整数倍”，问题⑵则是“整数的小数倍”。

可是，把“食杂店”改为“文具店”后，照样可以提出“小数的整数倍”问题，却不能提出“整数的小数倍”问题。这对于理解小数与整数乘法的意义是一个严重的缺陷。而且探索“小数的整数倍”与“整数的小数倍”算法的思维过程也有差异。

例如，计算3的1.5倍,必须先计算3的0.1倍，得3×0.1＝0.3；再计算0.3的15倍（变成小数的整数倍）,得0.3×15＝4.5。

由此可见“整数的小数倍”可以转化为“小数的整数倍”来计算的。所以，“整数的小数倍”，也可以直接用上面的算法三来计算。

3×1.5＝3×（15×0.1）

      ＝（3×15）×0.1

      ＝45×0.1

      ＝4.5。

当时，为什么要把“食杂店”的数学情境改为“文具店”呢？可能是认为小数乘法的第一节课，问题2的要求太高了，所以删掉。可是没想到这么删掉，却造成对小数与整数乘法意义理解的缺失，实在得不偿失。如果觉得问题2太难，可以把它改得容易些，比如改成：水果糖每千克9元，买0.3千克需要多少元?